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El papel de las bifurcaciones de Hopf en la estabilidad de Análisis de Sistemas de Potencia

1. Introducción

La energía eléctrica los sistemas son muy complejos sistemas no lineales que pueden mostrar diversos eventos complicado, no han examinado a fondo hasta ahora [1]. Los sistemas de energía, en las últimas dos décadas, han estado trabajando con mucho más hincapié en las condiciones que en el pasado. Esto es principalmente debido a las presiones ecológicas en el desarrollo de la transmisión, el uso ampliado de la electricidad en partes de carga pesada, nuevos modelos de carga del sistema, para el mercado eléctrico liberalizado, y así sucesivamente. Como consecuencia de estas situaciones de estrés, un sistema de energía puede revelar nuevos tipos de actuaciones dinámica inestable como las caídas de tensión lento, o incluso el colapso de tensión [2-5]. En los últimos años, la estabilidad de voltaje y los fenómenos de colapso de tensión se han convertido en preocupaciones muy importantes en el análisis de poder y control del sistema [6,7]. Tensión el colapso es un fenómeno intrínsecamente no lineal, que se relaciona con las bifurcaciones de sistemas dinámicos no lineales punto de vista [1, 8]. Por lo tanto, la necesidad de analizar de forma dinámica el sistema de energía se ha desarrollado ampliamente en los últimos años. Una de las limitaciones a la seguridad operacional de los sistemas de energía es la inestabilidad oscilatoria [9], es decir, un fenómeno no lineal intrínsecamente relacionados con la bifurcación de desde el punto de vista de sistemas dinámicos no lineales. Teniendo en cuenta la teoría de la bifurcación de Hopf, gran cantidad de investigación se ha llevado a cabo para comprender y analizar el mecanismo de este tipo de inestabilidad [10-13].

Puntos de bifurcación a cabo un cambio en el número de candidatos a las condiciones de funcionamiento de un sistema no lineal cuando un parámetro es cuasiestáticamente cambiado [14]. El candidato condiciones de funcionamiento puede ser un punto de equilibrio, una solución periódica, o un subconjunto invariante de otros de su límite establecido, independientemente de sus características de estabilidad [14]. El parámetro que está siendo variada es reconocido como el parámetro de bifurcación. Un sistema dinámico no lineal puede presentar una serie de bifurcaciones diferentes cuando se cambian uno o más parámetros. Una característica principal de una bifurcación de es la dirección, o la estabilidad, de la bifurcación.

Al parecer, un modelado preciso de los equipos de energía del sistema, incluyendo generadores, cargas, y los reguladores es fundamental con el fin de entender y reproducir con precisión la inestabilidad de voltaje [15, 16]. Además, los sistemas flexibles de transmisión de corriente alterna (FACTS) han sido reconocidos como soluciones capaces de mejorar la estabilidad de del sistema de energía [17, 18].

La teoría de la bifurcación ofrece un conjunto de procedimientos matemáticos de ecuaciones diferenciales no lineales algebraicas (DAE) que sea suficiente para el estudio de sistemas de energía, que se caracterizan por ser modelado como un conjunto de DAE no lineal. Por encima de todo, la teoría de la bifurcación se identifica generalmente como un método útil para la evaluación de la estabilidad de tensión [19-21].

Las redes de energía se compone de partes no lineales, tales como generadores síncronos (suministro de potencia real y reactiva de las redes), los autobuses de carga (en representación de los consumidores), y las líneas de transmisión para la distribución de energía. La dinámica de un sistema como éste es representado por las ecuaciones de oscilación de los generadores sincrónicos, las ecuaciones diferenciales de carga dinámica (por ejemplo, las máquinas de inducción), y las ecuaciones algebraicas para caracterizar la red de cargas no lineales [23]. Con los cambios en las condiciones de carga, el conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales pasa a través de las variaciones cualitativas en la bifurcación de puntos. Bifurcación de Hopf y la bifurcación silla nodo que se conoce como las bifurcaciones típica en sistemas de energía [9].

Es el objetivo de este trabajo para el estudio de las bifurcaciones de Hopf en el sistemas de potencia. Una gran variedad de fenómenos que pueden resultar en la bifurcación de Hopf se tienen en cuenta y su identificación y varios métodos de análisis y control de ellos son considerados.

El organización del trabajo es de esta manera: bifurcaciones de Hopf en sistemas dinámicos se explican en la sección 2 y los diferentes tipos de ellos, junto con las ecuaciones matemáticas se ofrecen. En la sección 3, diferentes eventos en los sistemas de energía, que puede causar las bifurcaciones de Hopf, que se estudian y en la sección 4, la identificación y control de las bifurcaciones de Hopf en sistemas de energía diferentes, con distintos equipos y se explican los modelos. Por último, existen conclusiones en la Sección 5.

2. Una breve descripción de las bifurcaciones de Hopf en los sistemas de energía dinámica de

Bifurcaciones de Hopf no provocará ningún cambio en el número de puntos de equilibrio [24]. Estos tipos de bifurcaciones se demostrado por un par conjugado complejo de valores propios para el punto de equilibrio (x0, y0;? 0) de mentir sobre el eje imaginario de la llanura del complejo [9]. Como el parámetro? cambios, la par conjugado complejo se mueve lejos del eje imaginario, ni a la derecha oa la izquierda del eje provocando ciclos límites estable o inestable (oscilaciones del sistema) para aparecer o desaparecer. Esto tipo de inestabilidad oscilatoria en sistemas no lineales se relaciona con la bifurcación de Hopf (HB) [1]. Las posiciones de los valores propios cerca del punto de bifurcación de Hopf se muestran en la figura. 1 [1].

Fig. 1. la ubicación de los valores propios cerca del punto de bifurcación de Hopf

Teniendo en cuenta la figura. 1, se puede explicar que una bifurcación de Hopf se produce en un punto donde el sistema tiene un simple par de valores propios puramente imaginario (? = ± j?) y no otros valores propios con parte real nula. Bifurcaciones de Hopf mostrar el nacimiento o la destrucción de las órbitas de período conocido como los ciclos límite [25]. Un ciclo límite es una solución aislada de un periódico no lineal sistema x = f (x) [1]. En este punto, una solución periódica es una función de x (t) que satisfaga y tiene las características de x (t + T) = x (t) para todo t, donde T es el período de la solución periódica. Por lo tanto, podemos decir que un ciclo límite es una curva cerrada en el espacio n-dimensional [25]. La estabilidad del equilibrio punto en una de HB se pierde cuando se interactúa con un ciclo límite [26]. Cerca de esta bifurcación, se espera que sea estable o inestable ciclos límites de existir. En cuanto al valor del parámetro de bifurcación y sobre la base de la estabilidad de los ciclos límite y cuando se producen, las bifurcaciones de Hopf puede ser subcrítico o supercrítico [26, 27]:

Subcrítico HB: En este tipo de HB, un ciclo límite inestable, que existe antes de la bifurcación, se hace más pequeña y con el tiempo desaparece a medida que se combina con un punto de equilibrio estable en la bifurcación. Después de la de bifurcación, el punto de equilibrio se vuelve inestable que resulta en el crecimiento de las oscilaciones.

Supercrítico HB: En este caso, un ciclo límite estable es presentado en la bifurcación, y un punto de equilibrio estable se vuelve inestable, con oscilaciones de amplitud cada vez mayor que finalmente se sienten atraídos por el ciclo límite estable. Fig. 2 muestra las formas normales de bifurcación de Hopf en ambos supercrítico y los casos subcrítico.

El tipo de la bifurcación de Hopf puede ser confirmado por cualquiera de las técnicas de perturbación fundada en el método de múltiples escalas, o el método numérico basado en el respuesta del sistema perturbado [28]. El mecanismo de la inestabilidad de la bifurcación de Hopf subcrítico está representado en la figura. 3 (a) cuando la aniquilación del punto de operación causas oscilatoria divergentes. Además, el mecanismo de la inestabilidad de la bifurcación de Hopf supercrítica se ilustra en la figura. 3 (b). Se observa que en este caso, la operación varía de un punto de funcionamiento a las oscilaciones estable [29].

Desde un punto de vista de ingeniería, ninguno de los casos anteriormente mencionados son aceptables teniendo en cuenta el hecho de que ambos le dan un punto de trabajo inestable, con oscilaciones después de esta bifurcación [1]. La condición necesaria para un HB es la existencia de equilibrio con valores propios puramente imaginario.

Cuando se produce la bifurcación de Hopf, la matriz jacobiana de el sistema tiene un simple

Fig. 1. Formas normales de bifurcación de Hopf: (a) supercrítico, (b) subcrítico

Fig. 3. Mecanismo de inestabilidad de la Hopf la bifurcación de un típico? = 0,2; (a) subcrítica, (b) supercrítico

par de puramente imaginario valores propios y no hay otros valores propios en el eje imaginario. En el punto de bifurcación de Hopf, el sistema de energía puede enfrentarse con oscilaciones no amortiguadas [9]. Sobre la base de la estabilidad del sistema dinámico de teoría, se sabe que el comportamiento de un sistema no lineal dado, como se muestra en (1), en un punto crítico x0, es similar a la del mismo sistema lineal en x0, como se muestra en (2) [30]:

(1)

(2)

J (x0,? 0) = Df (x0,? 0) es la matriz Jacobiana del sistema en x0. Si J (x0,? 0) presenta sólo valores propios con parte real negativa, el sistema no lineal original es estable a nivel local en x0. La bifurcación de Hopf se produce en un punto de operación cuya J (x0,? 0) ha uno, y sólo un par de valores propios puramente imaginario, y todas las demás personas que tengan de cero la parte real [31]. Llegados a este punto? 0 se corresponde con el valor de bifurcación del sistema.

Según se define en [32], una bifurcación de Hopf sucede cuando en el sistema diferencial x '= f (x,?) Se cumplen las siguientes condiciones:

(a) f (x0,? 0) = 0

(b) D (x0,? 0) tiene un simple par de valores propios puramente imaginario ? (? 0) = ± j? Y no otros valores propios con parte real nula.

¿Dónde? es el parámetro de bifurcación de un parámetro de los cambios en la estructura del sistema en estudio, Df es la matriz jacobiana de la función de desfase de f, y el subíndice "0" se refiere a un punto de bifurcación. Condición (c) asegura el cruce transversal del eje imaginario. El signo de (c) se confirma si hay un nacimiento o muerte de un ciclo límite en (x0,? 0) [33]. Los sistemas de energía son generalmente modelada utilizando un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas (DAE):

x = f (x, y,?)

0 = g (x, y,?) (3)

donde x es el estado e y son variables algebraicas. Para estudiar las condiciones en la bifurcación de Hopf (3), inicialmente, la valores de equilibrio variable (x,?) deben ser calculados. Esto se hace mediante la resolución de las ecuaciones de flujo de carga para un determinado? =? 0 [29]:

0 = f (x, y,?)

0 = g (x, y,?) (4)

La dinámica de la matriz estado Js se calcula como sigue, siempre que GY es no singular, es decir, la singularidad inducida bifurcaciones se suprimen:

Js (x, y,?) = FX? fy (GY)-1GX (5)

Una bifurcación de Hopf se puede encontrar la solución del conjunto de ecuaciones:

F (x,?) = 0

det [J? I - Js (X,?)] = 0 (6)

Función f (x, y,?) En (6) representa para las funciones f y g en las ecuaciones de flujo de carga (4), y X = (x, y). La segunda condición que en (6) significa lo mismo que (b) en las condiciones generales de la bifurcación de Hopf.

3. Diversos fenómenos de liderazgo en las bifurcaciones de Hopf

Bifurcaciones de Hopf se producen cuando un parámetro en el sistema es muy variada y que causan un par de de valores propios complejos cruzar el eje imaginario, que puede dar lugar a oscilaciones inestables en el sistema de raíces en el tipo de Hopf [9]. En los sistemas de poder, muchos fenómenos pueden dar lugar a bifurcaciones de Hopf. Incorrecto de ajuste de los parámetros de control en las unidades de generación pueden causar bifurcación de Hopf [34-36]. Cargas no lineales pueden provocar la bifurcación de Hopf, así [37]. En [11], [38], [39] un de investigación se realiza sobre una perturbación en el segmento medio-oeste de los EE.UU. interconectada de energía y las oscilaciones emergente causado por la línea de disparo. Estos análisis confirman que la evento fue obviamente relacionada con una bifurcación de Hopf. A continuación, se presenta una breve descripción de varios fenómenos importantes, que llevan en las bifurcaciones de Hopf,.

3-1) SSR

SSR es un fenómeno en los sistemas de poder en el que la bifurcación de la dinámica "bifurcación de Hopf" teoría puede ser aplicar [28]. Zhu et al. [40], haciendo uso de esta teoría, estudió un sistema de energía SMIB con la RSS en el que se descuida la dinámica de la AVR y devanados amortiguadores. En su esfuerzo, una predicción de la bifurcación de Hopf supercrítica es considerado. El análisis de bifurcación ha sido utilizado por Nayfeh et al. [41] para estudiar la compleja dinámica de un poder SMIB muy cargado. En su trabajo, la dinámica efectos de la d-hacha y Q-devanados amortiguadores hacha se tienen en cuenta mientras que la del AVR se ignora. Basándose en los resultados de su trabajo, aumentando el factor de compensación del punto de funcionamiento pierde de su estabilidad a través de bifurcación de Hopf supercrítica. Además, el efecto de la saturación de la máquina eléctrica en SSR es examinado por Harb et al. [42], concluyendo que la saturación del generador, desplazando el punto de bifurcación de Hopf a menor nivel de compensación, algo hace que la región de manera positiva amortiguado menor. Además, cambia ligeramente la bifurcación de Hopf secundaria a los pequeños nivel de compensación.

3-2) Hydro-turbina de Administración de sistemas con la saturación

En [43], por medio de simulaciones, los simples ecuaciones de estado no lineal de la PI que rigen el sistema teniendo en cuenta la saturación de hidro-turbinas se instalan y el próximo, el comportamiento de la bifurcación de Hopf en diversas condiciones se estudia. Los resultados de su trabajo expresar que una hidro-turbina de sistema de gobierno puede haber oscilaciones del ciclo inesperado límite cuando los parámetros del gobernador de satisfacer ciertas condiciones. Ordenador Las simulaciones se han aplicado a imitar a la aparición de comportamientos oscilatorios en una planta de energía hidroeléctrica [44]. Fenómeno de bifurcación de Hopf nunca ha sido considerado como una de las posibles razones para los comportamientos oscilatorios. En [43] se sugiere que la bifurcación de Hopf se puede considerar como uno de los acontecimientos probables causando oscilaciones sostenido. Mansoor et al. [44] presente adicionales de verificación a la conclusión anterior, registrado a través de comportamientos oscilatorios. Daijian Ling y Yang Tao [43] realizar un enfoque nuevo análisis para investigar la estabilidad de la turbina hidráulica de Administración los sistemas que emplean la teoría de la bifurcación de los sistemas dinámicos no lineales.

3-3) Static Var Compensador (SVC)

Los efectos de un compensador estático (SVC) los dispositivos de la estabilidad de una simple "máquina única dinámica de carga" del sistema se han puesto de manifiesto en [6]. Está demostrado que el CVP es capaz de mejorar la capacidad de carga del sistema, pero los resultados en una bifurcación de Hopf. Además, un estudio multi-parámetro de bifurcación se lleva a cabo para examinar el efecto de los parámetros del sistema en la bifurcación de Hopf.

3-4) Los cambios en las condiciones de carga

Los cambios en las condiciones de carga o la entrada de energía mecánica de las máquinas síncronas en un sistema eléctrico puede causar la bifurcación de Hopf, que debe evitarse [23]. Kobravi K. et al. [23], aplicar el paquete de MATCONT para estudiar la bifurcación de Hopf en un sistema eléctrico simple. El MATCONT predice la existencia de un punto de bifurcación de Hopf en relación tanto con Q1 y Pm. La Figura 4 muestra la Hopf diagrama de bifurcación para el sistema de poder con respecto a las PM y P1 [21].

3-5) Convertidores

El estudio de bifurcación de Hopf de un modo actual histerético controlada Luo convertidor DC-DC se ha presentado en [45]. Se ha demostrado que, como se cambian los parámetros de control, la órbita nominal periódico experimenta una bifurcación de Hopf. También se ha celebrado a partir de los resultados experimentales de que el margen de la estabilidad del sistema disminuye cuando aumenta la carga de la resistencia [45].

Un análisis sobre el control por modo deslizante y los fenómenos no lineales en el convertidor de SEPIC se han realizado en [46], donde la suma de dos corrientes de inductor se han tomado como variable de control para diseñar el control por modo deslizante en SEPIC, obtener el control equivalente y ecuaciones diferenciales en la superficie de deslizamiento, e investigar la estabilidad del punto de equilibrio mediante el cálculo de la los valores propios de la matriz Jacobiana. Mediante simulación numérica del modelo exacto, se ha demostrado que el punto de equilibrio puede someterse a una bifurcación de Hopf, como los aumentos de referencia actual. En la figura 5, un diagrama de bifurcación con la referencia actual en el parámetro de bifurcación se representa [46]. El trabajo realizado en [46] pueden proporcionar directrices para el diseño y aplicación de los convertidores de SEPIC.

3-6) Lorenz tipo de sistemas caóticos

Yang Qigui y Liu Mengying [47], con el cálculo simbólico precisa y absolutamente matemática de estudio, el primero en utilizar el coeficiente de Lyapunov para analizar la bifurcación de Hopf del tipo de Lorenz sistema caótico con el espacio de parámetros conjunto completo. Por lo tanto, se demuestra que este sistema tiene tres Los puntos de bifurcación de Hopf, en el que los parámetros de cumplir una condición particular, los puntos de bifurcación de Hopf son supercrítico, que cumplan las condiciones de otro particular, los puntos de bifurcación de Hopf son subcrítico.

3-7) Los lapsos de tiempo

En [48], la la distribución de las raíces de la ecuación característica asociada ha sido analizada y la estabilidad del equilibrio trivial se estudia. Está comprobado que cuando el retraso pasa a través de los valores críticos, Bifurcación de Hopf se lleva a cabo a partir del equilibrio trivial. Técnica de integración numérica se aplica para estudiar el efecto del tiempo de retardo en los sistemas autónomos y no autónomos, respectivamente, con el la ayuda de los parámetros del sistema dado. Los resultados revelan que en un sistema autónomo, cuando aumenta la demora de tiempo determinado valor, una solución periódica estable sucede desde el punto de equilibrio a través de bifurcación de Hopf, que confirman la validez del método de análisis aplicado en [44]. Para un sistema no-autónomas, los resultados de probar una incensement en la amplitud de movimiento período estable, que puede causar que algunas comportamientos dinámicos complejos como el movimiento cuasi periódica, y el sistema puede salir de control a medida que aumenta el tiempo de retardo.

Fig. 4. El diagrama de bifurcación de Hopf para el sistema de poder con respecto a las PM y Q1

3-8) Tabu modelos de aprendizaje

Un estudio sobre tabú modelo de aprendizaje única neurona se ha realizado en [49] utilizando el método de dominio de la frecuencia con la ventaja de no necesitar muchos cálculos matemáticos y no ser tan intrincada como analizar el modelo en el dominio del tiempo. Teniendo en cuenta la tasa de atenuación de memoria como el parámetro de bifurcación, que se ha demostrado que cuando pasa a través de este parámetro un valor crítico, se plantea una bifurcación de Hopf. La estabilidad y la dirección de las órbitas periódicas se bifurca han sido evaluadas por la amplitud de dibujo lugar L1 y el lugar? (j?) en un entorno de un punto de bifurcación de Hopf. Totalmente, hay cuatro ecuaciones diferenciales en el sistema con respecto a un modelo de dos neuronas con una función de la proximidad lineal. La aplicación de estas cuatro ecuaciones diferenciales, la bifurcación de Hopf en el dominio del tiempo se estudia en [50]. Para un modelo de dos neuronas con una función de la proximidad de segundo grado, no son totalmente seis ecuaciones diferenciales.

3-9) control de la congestión Algoritmos

En [51], un análisis de una clase de extremo-a-red de algoritmos de control de la congestión final con retrasos en la comunicación se realiza. Cuándo la demora en las comunicaciones es seleccionado como un parámetro, se demuestra que existe la bifurcación (Figura 6). Los métodos para determinar la estabilidad de la bifurcación de soluciones periódicas y la dirección de de la bifurcación de Hopf se desarrollan también en [51].

Gaurav Raina [52] presenta los cálculos fundamentales para verificar la estabilidad y las formas asintótico de las soluciones que se bifurcan en el estado estable en una ecuación no lineal retraso diferencial con un retraso discreto único. Los resultados se aplican al estudio de la pérdida de la estabilidad local en una opción de control de congestión Los algoritmos utilizados en un solo vínculo.

4. Identificación y control de las bifurcaciones de Hopf en sistemas de potencia

Modelos de sistemas de alimentación presentan una amplia gama de fenómenos no lineales que han sido estudiados por la teoría de la bifurcación. En concreto, la aparición de oscilaciones de en los modelos de sistema de energía se refiere a las bifurcaciones de Hopf, que surgen cuando las ganancias de control o carga de máquinas superan los valores críticos. El problema de la bifurcación del sistema algebraico diferencial (el poder sistema de estabilidad de voltaje dinámico) ha sido considerado en [53] a través del análisis Jacobiano sin reducción sobre la base de perturbación singular.

En [54], la dinámica de un poder de base modelo del sistema es analizada, mientras que el voltaje de campo del generador está sujeto a un tiempo de retraso. Basándose en este análisis, cuando el tiempo de retraso superior a un valor crítico? C a través de un Andronov-Hopf de bifurcación, un punto de funcionamiento nominal estable puede ser desestabilizado.

Un nuevo método se introduce en [55] para calcular los límites de bifurcación de Hopf para los sistemas de DAE que pueden modelar la dinámica de los sistemas de poder. El esquema básico se representa en la Figura 7. Este método ha sido aplicado a una serie de sistemas de energía de ejemplo para mostrar su eficacia y aplicabilidad.

Fig. 5. Diagrama de bifurcación con la referencia actual en el parámetro de bifurcación de

Al utilizar esta técnica, sistemáticamente se puede determinar que los tres principales límites bifurcación local para un problema de DAE general. Se trata de un directo método y mantiene la forma DAE. Por lo tanto, conserva la escasez de la energía estructura de datos del sistema.

Los complejos fenómenos no lineales en los modelos de sistemas de energía han sido ampliamente estudiados en el pasado. Aunque una gran atención se ha prestado a la investigación de modelos de sistemas de poder en la ausencia de tiempo de retraso ([56-60]), no como mucha atención se ha dedicado al estudio del sistema eléctrico la dinámica de la presencia de los retrasos exclusión [61].

Un nuevo algoritmo que calcula las bifurcaciones mínimo y máximo de Hopf y puntos de flujo de carga límite de viabilidad como parte de un proceso ordinario se ha propuesto en [62] y ha sido probado y validado por medio de simulaciones numéricas.

En [24], el análisis de bifurcación de un detallado modelo de sistema de potencia compuesto por un motor de inducción de agregados y la carga de impedancia suministrados por parte de una carga de cambiador de tomas (ULTC) del transformador y un generador de equivalentes y el sistema de transmisión ha sido presentado. El modelo del sistema de prueba se presenta en la figura 8 y los parámetros del sistema se resumen en la Tabla 1 [24].

Varios niveles de modelado con sus correspondientes diferencial de las ecuaciones algebraicas se consideran para determinar el modelo dinámico del sistema mínimos para los estudios de la bifurcación de los sistemas de poder. Un modelo agregado de una carga realista es empleado para demostrar las ideas propuestas en el documento. Este documento [24] proporciona una investigación completa de la bifurcación para diferentes modelos de motores de inducción alimentados por transformadores de agregados ULTC. Se demuestra que el cuando los modos de oscilación asociado con las bifurcaciones de Hopf son de interés, los modelos de orden superior deben utilizarse [24]. Además, se demuestra que cuando los estudios de la bifurcación se realizan para investigar los la existencia de ciclos límite, que están asociados con las bifurcaciones de Hopf, generador detallada, transformador ULTC y modelos de motor de inducción debería ser empleado. Sin embargo, no es necesario utilizar detallados modelos de línea dinámica de transmisión. Teniendo en cuenta los modelos de transmisión detallada puede ser ventajoso en la reducción de la complejidad computacional debido a las restricciones algebraicas [24].

Fig. 6. Estado y diagrama de fase de un sistema con un retraso de más de referencia de valor

Fig. 7. Esquema básico de la continuación del método

Fig. 8. El modelo de carga globales del sistema de prueba [24]

Tabla 1. Agregados de carga de datos (100MVA, 4KV Base)

Variable

Valor (PU)

0,07825

Xls

0,8320

16,48

0,1055

XLR

0,8320

0,1836 s

? E

2? 60 s-1

0,06047

0,03530

0,2

5 s

Diferentes soluciones locales de periódicos puede dar clases diferentes de los patrones o modelos de almacenamiento de memoria, y surgen de los puntos de equilibrio diferentes de las redes neuronales (ENN), mediante el empleo de bifurcación de Hopf método. En [64], un NN memoria asociativa bidireccional con cuatro neuronas y múltiples retrasos se ha considerado y el uso de la teoría de la forma normal y el teorema del centro de múltiples, la investigación de su estabilidad lineal y la bifurcación de Hopf se ha hecho. Un algoritmo se ha aplicado para determinar la dirección y la estabilidad de las soluciones bifurcadas periódicos.

La distribución de las raíces de una ecuación general de cuarto grado exponencial polinomio ha sido estudiada en [63] y se descubrió que en determinadas condiciones, cuando la suma de los cambios de los retrasos, la solución nula pierde su estabilidad y una bifurcación de Hopf sucede. Por otra parte, la utilización de la teoría de la forma normal y el centro de reducción de la variedad, la estabilidad y la dirección de la bifurcación de Hopf se determinan. Se ha demostrado que, basándose en algunas condiciones, la dirección de la bifurcación de Hopf y la estabilidad de las soluciones periódicas bifurcación puede ser determinado por el signo.

En [64], una nueva forma normal en los sistemas de control no lineal se ha desarrollado para el control de la bifurcación de Hopf y expresiones simples para los coeficientes de estabilidad de la bifurcación de Hopf se obtienen a través del diseño de las normas de control simple.

Un índice se ha propuesto en [30] para identificar los puntos de bifurcación de Hopf en sistemas de potencia. Dos modelos se utilizan para desarrollar el método. Una vez que la red de la dinámica se han modelado, los sistemas susceptibles a la sub-resonancia sincrónica se identifican. Alternativamente, si las interacciones entre los generadores y la red no están en el centro de atención, bifurcaciones de Hopf puede ser identificado como resultado de las oscilaciones del generador. Este índice [30] se basa en el cálculo de un conjunto reducido de valores propios, lo que hace el algoritmo útil incluso para los sistemas de gran potencia.

Dos tipos diferentes de modelos de sistemas de energía se han centrado en [30]: una para el análisis de estabilidad angular y otra para los sub-resonancia sincrónica (SSR) de análisis. Dos índices han sido evaluados e investigados para identificar a las bifurcaciones de Hopf-HBI y IND. Sobre el tema del índice de HBI, para ambos tipos de modelo, es capaz de detectar las bifurcaciones de Hopf, siempre que la frecuencia se actualiza a cada paso. Otra característica HBI es la necesidad de seguimiento de más de un valor propio para garantizar un funcionamiento estable del sistema en estudio [30].

El Índice IND identifica el punto de bifurcación correctamente para ambos estudios, sin necesidad de conocer de antemano el modo de sistema crítico. Esto es posible porque un conjunto de valores propios es evaluado en cada uno de punto de operación. Como resultado de ello, mientras se cambia el parámetro de sistema, el par de críticos de los valores propios se incluye en este grupo [30]. Para comprobar el punto de bifurcación en el estudio de estabilidad angular, de otros dos índices se han calculado. Los resultados han demostrado ser fiables, lo que permite a uno identificar correctamente el punto de bifurcación para cualquier tipo de análisis.

5. Conclusiones

En este documento, un estudio sobre las bifurcaciones de Hopf se presenta para el sistema de poder de análisis de estabilidad de empleo de los resultados de los avances logrados hasta ahora en este campo. Bifurcaciones de Hopf en sistemas dinámicos se explican y ecuaciones matemáticas se presentan. Diversos fenómenos en los sistemas de poder que puede dar lugar a bifurcaciones de Hopf se tienen en cuenta. Además, la identificación de las bifurcaciones de Hopf son investigados y los diferentes métodos para analizar y controlar ellos son estudiados. Además, los niveles de varios modelos con sus respectivas ecuaciones diferenciales algebraicas son estudiadas y el análisis de bifurcación de Hopf de los modelos de orden diferente del sistema se realiza teniendo en cuenta la inducción los motores y las condiciones de carga de impedancia suministrados por menores de la carga del cambiador de tomas de transformadores (ULTC). Los resultados de este estudio demuestran el papel fundamental de identificación y análisis de las bifurcaciones de Hopf en el sistema de evaluación del poder de la estabilidad.

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